FOC理论总结

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一、引言

什么是FOC（Field Oriented Control）？

FOC（Field-Oriented Control，磁场定向控制），也称为矢量控制（Vector Control, VC），是一种高性能电机控制策略，目前被广泛认为是控制无刷直流电机（BLDC）和永磁同步电机（PMSM）的最优方法之一。它通过精确调节电机磁场的大小和方向，实现平稳转矩输出、低噪声、高效率和快速动态响应。

简单来说，FOC是一种“精细化”驱动无刷电机的方法，使得对电机的控制如同“像素级”般精准，突破了传统控制方式在性能和响应速度上的限制。

FOC的关键步骤包括三相电流采样、Clarke 和 Park 变换、电流闭环控制、SVPWM 调制等。典型FOC控制原理如下图：

FOC与传统控制方式的对比

控制方式	控制原理	优点	缺点	适用场景
六步控制（方波控制）	按固定顺序依次导通三相桥臂，实现换相	实现简单，成本低	转矩脉动大，噪声大，低速性能差	无刷直流电机（BLDC）低成本应用
V/f控制（电压频率比）	维持定子电压与频率的固定比例	实现简单，适用于开环系统	稳定性差，负载变化时调速精度低	感应电机变频器、风机水泵等场合
FOC控制（磁场定向）	电流解耦控制，实现磁场与转矩独立调节	动态性能优，高效率，低噪声	实现复杂，对采样与计算要求高	高性能伺服、工业自动化、电动车驱动等

FOC的优点与应用场景

主要优点：

• 转矩与磁场分离控制：使电机响应更快，控制更精确；
• 良好的低速性能：即使在接近零速时仍可保持稳定运行；
• 低转矩脉动、低噪音：输出更平滑，适合对振动敏感的场合；
• 高效率运行：实现最大转矩电流比（MTPA）控制，提升能效；
• 可拓展性强：支持传感器控制与无传感器估算，灵活适配各种应用。

典型应用场景：

• 工业伺服系统、CNC控制
• 电动汽车驱动系统（EV/HEV）
• 无人机、电动滑板车等便携设备
• 医疗与机器人领域的精密驱动

二、基础理论

2.1 无刷电机(BLDC)基础

无刷直流电动机（BLDC，Brushless DC Motor）是一种没有机械电刷和换向器的电动机，取而代之的是通过电子换向实现电流的切换。BLDC电机利用转子上的永磁体位置来调节定子绕组的电流方向和幅值，从而产生所需的电磁转矩，实现高效、精准的转动控制。其内部结构与永磁同步电机（PMSM，Permanent Magnet Synchronous Motor）非常相似，均采用永磁体转子和多相定子绕组，但两者在驱动和控制策略上有所区别。本文主要聚焦于BLDC的基本工作原理与控制方法，不展开详细比较两者的差异。

三相无刷电机根据转子与定子的位置关系，主要分为外转子（Outer Rotor）和内转子（Inner Rotor）两种结构，区别如下图：

图源： https://blog.csdn.net/yck1716/article/details/136143289

驱动这种三相无刷电机最简单的方式是使用六步换相控制，每次同时控制两个线圈导通，按顺序从1-6变更通电模式，则合成磁通量将顺时针旋转。

通过变更合成磁通量的方向，控制速度，可控制转子的旋转速度。将切换这6种通电模式来控制电机的控制方法称为“六步换相控制（Six-Step Commutation）”，或称“120度通电控制”、“梯形控制（Trapezoidal Control）”，整个流程如下：

图源: https://blog.csdn.net/yck1716/article/details/136143289 （仅个人学习使用）

实际控制时，一般使用6个MOS管来进行驱动，典型电路如下：

图源： https://blog.csdn.net/hcx25909/article/details/137464460（仅个人学习使用）

六步换向存在的问题为：换相时转矩不平滑，导致电机振动和噪音较大；电流波形不是正弦，效率较低；控制精度有限，难以实现高速平滑调速。简单来说，就是运行不够平稳，噪音和效率都一般。

FOC 是目前高端无刷电机控制中最常见的方法之一，它将三相电流变换为转子坐标系中的直轴电流（Id）和交轴电流（Iq），分别控制磁通和转矩。其核心思想是将控制从“电机绕组角度”转化为“磁场方向角度”，实现精准控制。

FOC 控制中通常包括 Clarke 变换、Park 变换、PI 电流环调节器以及SVPWM输出模块，控制流程较为复杂，但能提供极佳的转矩控制精度、低噪音与高效率。

2.2 坐标变换理论

在 BLDC（特别是正弦波驱动与 FOC 控制）中，为了实现对三相电机电流/电压的精确调节，需对三相静态坐标系下的量进行坐标变换，转化到更适合控制算法的参考系中。主要包括 Clarke 变换 和 Park 变换，以及对应的逆变换。

三个相A、B、C的电流随时间变换的曲线，如上图所示，他们之间存在120°的相位差。只要能够控制这个相位差为120°的sin状波形，就能够实现针对电机的控制。

Clarke变换（abc → αβ）

Clarke 变换的目标是将三相电流（或电压）从 abc 静态三相坐标系转换为 αβ 平面上的两个正交分量（2轴静态坐标系）。该坐标系是固定的，与电机转子无关。（实际上就是降维解耦的过程，把难以辨明和控制的三相相位差120°电机波形降维为两维矢量。）

其最终数学表达如下：

$$\left[\begin{array}{c}{I}_{\alpha }\\ I_{\beta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_a\\ i_b\\ i_c\end{array}\right]$$

往往最终论文或者资料上克拉克变换的体现形式都不是上面这样子，而是会加上一个系数，如2/3​ （等幅值变换系数），或者$\sqrt{\frac{2}{3}}$（等功率变换系数）。下面是等幅值变换形式：

$$\left[\begin{array}{c}{I}_{\alpha }\\ I_{\beta }\end{array}\right]=\frac{2}{3}\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_a\\ i_b\\ i_c\end{array}\right]$$

何为等幅值变换？用α相电流输入1A电流的特例来举例，当电流输入时候，根据基尔霍夫电流定律（电路中任一个节点上，在任意时刻，流入节点的电流之和等于流出节点的电流之和，如下图），有：

$${\mathrm{i}}_{\mathrm{a}}+{\mathrm{i}}_{\mathrm{b}}+{\mathrm{i}}_{\mathrm{c}}=0$$

设定ia为-1，则根据上面的式子，有ib和ic​为1/2，列成矩阵形式后，如下所示：

$$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{i}}_{\mathrm{a}}\\ {\mathrm{i}}_{\mathrm{b}}\\ {\mathrm{i}}_{\mathrm{c}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-1\\ \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\end{array}\right]$$

将这个ia-c的参数带入到我们上面的无系数变换公式中，得到输出：

$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}{I}_{\alpha }\\ I_{\beta }\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-1\\ \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{c}-1+(-\frac{1}{2})\cdot \frac{1}{2}+(-\frac{1}{2})\cdot \frac{1}{2}\\ 0+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}+(-\frac{\sqrt{3}}{2})\cdot \frac{1}{2}\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{c}-1-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\\ \frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-\frac{3}{2}\\ 0\end{array}\right]\end{array}$$

这就看出问题了，显然，尽管矢量a与α轴重合，但是由于b,c相电流投影的存在，导致在a相输入1A电流，反应在α轴上的电流并不是等赋值的1A，而是-3/2 。

因此，为了让式子等辐值，即使得a相1A时，反应在α轴上的电流也是1A，我们就得乘上系数2/3 ，针对上面的投影式乘上2/3后，式子变换为：

$$[\begin{array}{c}{\mathrm{I}}_{\alpha }\\ {\mathrm{I}}_{\beta }\end{array}]=\frac{2}{3}[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}][\begin{array}{c}-1\\ \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\end{array}]=\frac{2}{3}[\begin{array}{c}-\frac{3}{2}\\ 0\end{array}]=[\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}]$$

这就是克拉克变换的等幅值表现形式。

基于等赋值变换，我们就能够得到α、β相位与ia,ib,ic的关系：

$$\begin{array}{rl}{I}_{\alpha }& =i_a\\ I_{\beta }& =\frac{1}{\sqrt{3}}(2i_b+i_a)\end{array}$$

并且由于基尔霍夫电流定律的存在，我们并不需要知道所有三相电流，我们只需要知道两相电流就能够求解得到另外一相的电流，反映在硬件上，我们就可以省去一路的电流传感器！节省成本。

Park变换（αβ → dq）

由克拉克变换，实际上我们已经成功对电机的正弦驱动三相曲线进行降维度，使之变成了一个两轴坐标问题，并且得到其转换关系。但是只有它是不够的，我们还需要将这个理论和旋转电机对应起来，也就是建立电机旋转时的数学模型。

我们需要知道能够使得电机旋转的Iα和Iβ电流输入规律，如果我们可以知道这个能够使得电机旋转的Iα和Iβ电流输入规律，我们就可以通过克拉克逆变换，把这个旋转情况下的Iα和Iβ逆变换为ia,ib,ic三相电流波形，从而就实现了用把ia,ib,ic降维后的Iα和Iβ实现对电机的控制，那么问题就没有原来我们想的直接控制ia,ib,ic来控制电机旋转来得复杂了。

帕克变换就是能够帮助我们求得各种旋转情况下的Iα和Iβ。

首先我们有一个固定在电机定子上的Iα-Iβ坐标系：

同时我们另外新建了一个坐标系，我们称之为Iq-Id坐标系，这个坐标系是可以随电机转子转动的！它与电机转子固联！！如下图所示：

dq坐标系相对与定子来说是旋转的坐标系，转速的角速度和转子旋转的角速度相同，所以，相当于转子来说，dq坐标系就是静止的坐标系；而和id和iq则是恒定不变的两个值，具体如下图所示；

d轴方向与转子磁链方向重合，又叫直轴；q轴方向与转子磁链方向垂直，又叫交轴；d轴和q轴如下图所示；

两个坐标放到一起有：

这里的角度θ，就被称为电角度，Park变换的本质是静止坐标系Iα-Iβ乘以一个旋转矩阵，从而得到dq坐标系，在知道电角度的前提下我们很容易完成映射：

$$[\begin{array}{c}{\mathrm{i}}_{\alpha }\\ {\mathrm{i}}_{\beta }\end{array}]=[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}{]}^{-1}[\begin{array}{c}{\mathrm{i}}_{\mathrm{d}}\\ {\mathrm{i}}_{\mathrm{q}}\end{array}]$$

因此，在知道电角度的前提下，我们就可以用iq和id坐标系上的定值来描述电机的旋转！这正是我们一直渴望的电机旋转数学模型！

逆Clarke、逆Park变换

Clarke逆变换：

$$\begin{array}{rl}& {\mathrm{i}}_{\mathrm{a}}={\mathrm{I}}_{\alpha }\\ & \mathrm{ib}=\frac{\sqrt{3}{\mathrm{I}}_{\beta }-{\mathrm{I}}_{\alpha }}{2}\\ & \mathrm{ic}=\frac{-{\mathrm{I}}_{\alpha }-\sqrt{3}{\mathrm{I}}_{\beta }}{2}\end{array}$$

Park逆变换

$$\begin{array}{rl}{i}_{\alpha }& =i_d\cos \theta -i_q\sin \theta \\ i_{\beta }& =i_q\cos \theta +i_d\sin \theta \end{array}$$

2.3 总结

在实际的FOC应用中，电角度是实时有编码器求出的，因此是已知的。Iq和Id可以合成一个矢量，加上电角度（旋转）的存在，因此可以看成一个旋转的矢量。在通过Iq和Id和电角度求得Iα和Iβ后，我们就可以通过克拉克逆变换求得ia,ib,ic的波形，这正是FOC的基本过程！

通常在简单的FOC应用中，我们只需要控制Iq的电流大小，而把Id设置为0。此时，Iq的大小间接就决定了定子三相电流的大小，进而决定了定子产生磁场的强度。进一步我们可以说，它决定了电机产生的力矩大小！

总的来说，整体流程如下：

所谓FOC的过程，其实就是输入需求的电机力矩，最后得到对应的真实世界电机输出力矩的过程，如上图所示。而其中最核心的数学过程，就是帕克逆变换和克拉克逆变换，而这两个变换的数学公式上图中框图上面的公式所示，其中帕克变换可以对用户输入的Iq进行变换，根据电角度算出Iα和Iβ，接着，通过克拉克逆变换，三相电流ia,ib,ic​能够被求出，最后这三个ia,ib,ic​ 能够用作控制指令输入到电机控制器硬件中进行电机的控制。

参考

1. https://blog.csdn.net/yck1716/article/details/136143289
2. https://www.bilibili.com/video/BV1XvtNeaE54